TEMA 1: NÚMERO REAL.

 

SUCESIVAS AMPLIACIONES DEL CAMPO NUMÉRICO.

 

NATURALES N
	ENTEROS Z
NEGATIVOS		RACIONALES Q
		Decimales no periódic. Decim. periódic. puros Decim. Periódic. mixtos
	FRACCIONARIOS		REALES R
				COMPLEJOS C
		IRRACIONALES
		Decim. no periódicos	IMAGINARIOS

 

EXPRESIÓN DE NÚMEROS REALES MEDIANTE SUCESIONES. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA.

 

Todo número real se puede expresar mediante dos sucesiones contiguas de números racionales. Una monótona creciente, cuyos términos se van aproximando cada vez más al número real considerado, por debajo, y otra monótona decreciente, cuyos términos cada vez se aproximan más por arriba.

 

                                               3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; …

p = 3.14159…

                                   4; 3,2; 3,15; 3,142; 3,1416;…

 

Si representamos sobre la recta los anteriores valores, obtenemos una serie de intervalos encajados cuyo único punto en común es el número real p considerado:

 

 

 

 Algunos números reales podemos representarlos mediante otros procedimientos:

Los números fraccionarios mediante el teorema de Tales (ver tema 5):

 

 Por ejemplo, para determinar 5/7 sobre la recta, trazamos un segmento de longitud arbitraria, secante a la recta  y con origen en 0. Lo dividimos en tantas partes como indique el denominador. El extremo lo unimos con la unidad, y trazamos paralelas a esta unión por cada división.

 

 

 

 

Las raíces cuadradas mediante el teorema de Pitágoras:

    formamos un triángulo rectángulo de catetos la unidad. La hipotenusa vale:

    trazando un nuevo cateto de valor la unidad, la nueva hipotenusa será:

si repetimos el proceso:   y así sucesivamente.

                    

EXPRESIÓN APROXIMADA DE LOS NÚMEROS REALES.

 

Los números reales tienen infinitas cifras decimales no periódicas, por lo que sólo podemos escribirlos mediante aproximaciones. Por ejemplo, para el nº p = 3,14159…

               

Intervalo	Aproximación por defecto	Aproximación por exceso.	Error menor que
[3;4]	3	4	1 unidad
[3,1;3,2]	3,1	3,2	1 décima
[3,14;3,15]	3,14	3,15	1 centésima
…	…	…	…

 

Error por redondeo. Cuando queremos expresar un numero real mediante un determinado número de cifras decimales, es decir, cuando queremos redondear un número: si la primera cifra que despreciamos es 5 o mayor que 5, la última que mantenemos la incrementamos en uno, y si es menor, la mantenemos.

 

Por ejemplo, el nº p = 3,14159… lo expresaríamos con 1, 2, 3, etc. cifras decimales en la forma:

 

3              3,1           3,14         3,142       3,1416

 

ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES. OPERACIONES CON DESIGUALDADES.

 

En los números reales se define la relación de orden  a < b Û b – a > 0

 

Si a los dos miembros de una desigualdad les sumamos o restamos un mismo número la desigualdad se mantiene.      

3 < 5            3 + 2 < 5 + 2        5 < 7

 

Si a los dos miembros de una desigualdad les multiplicamos o dividimos por un mismo número, la desigualdad:

si el nº es positivo se mantiene.   3 < 5          3 · 2 < 5 · 2       6 < 10

                si el número es negativo, se invierte. 3 < 5     3 (-2) > 5 (-2)     -6 > -10

 

INTERVALOS Y SEMIRRECTAS.

 

Intervalo es el conjunto de números comprendidos entre dos extremos. Si comprende a los extremos se denomina cerrado y se representa con corchetes [ 2 , 4 ] .  Si no comprende a los extremos, abierto, representándose con paréntesis   ( 2 , 4 ).  Puede ser abierto por un extremos y cerrado por el otro ( 3 , 5  ].

 

Semirrecta es el conjunto de números mayores, o menores,  que uno dado. Podemos también definirla como un intervalo sin alguno de sus extremos.

 

VALOR ABSOLUTO.

 

Valor absoluto de un número es el número considerado positivo. Se representa entre barras.

 

Ejemplo:  | -2 | = 2                | 2 | = 2

 

ENTORNO DE UN PUNTO.

 

Es el conjunto de puntos cuya distancia a un punto considerado (centro), es menor de un determinado valor (radio).

 

Se reprentan:

                                                                                                                      

                E[a,r]         (entorno cerrado de centro a y radio r)   

 

o bien:  E (a ,r)      ½x-a½<r    (entorno abierto de centro a y radio r)        

 

equivale a la doble desigualdad:                                                                            

-r < x-a

x-a < r

Ejercicios:

 

1.- Expresa el número e=2,7182818... con 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 cifras decimales, cometiendo el menor error posible en cada expresión

Sol.: 2    2,7    2,72    2,718    2,7183    2,71828    2,718282

2.- Expresa el número e=2,7182818 mediante dos sucesiones contiguas de números racionales, aproximando hasta las milésimas (o con error menor de 1 milésima).

Sol.:    2    2,7    2,71     2,718

            3    2,8    2,72    2,719

3.- Ordena de menor a mayor los siguientes números: P    3,15    10/3    3,14111...

Sol.: Pasando todos a una misma forma, por ejemplo decimal:    3,141592...    3,15    3,333...    3,14111 vemos que: 

    3,14111...< P < 3,15 < 10/3

4.- Indica el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números:    3,14    P   10/3   2,373737...    5    -3

Sol.:    Q    Irracional    Q    Q    N    Z

5.- Representa en la recta real  mediante Pitágoras =2

Sol.:   

6.- Representa en la recta real (-1,3]

Sol.:

 

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