TEMA 4. INECUACIONES.
DESIGUALDADES E INECUACIONES.
En el tema 1
(números reales), definimos la relación de orden 
Similarmente definiríamos las desigualdades:
Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de las ecuaciones, que sólo se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones tienen infinitas soluciones.
OPERACIONES CON DESIGUALDADES.
· Si a los dos miembros de una desigualdad les sumamos o restamos un mismo número la desigualdad se mantiene. 3 < 5 3 + 2 < 5 + 2 5 < 7
· Si a los dos miembros de una desigualdad les multiplicamos o dividimos por un mismo número, la desigualdad: si el nº es positivo se mantiene. 3 < 5 3 · 2 < 5 · 2 6 < 10
si el número es negativo, se invierte. 3 < 5 3 (-2) > 5 (-2) -6 > -10
· Si elevamos los dos miembros de una desigualdad a un mismo
· exponente impar la desigualdad se mantiene.
· exponente par
· si los términos son positivos la desigualdad se mantiene.
· si los terminos son negativos la desigualdad se invierte.
· si uno es positivo y otro negativo depende de los valores absolutos.
(exponente impar): 2 < 4
23 < 43
8 < 64
(exponente par):
términos positivos: 2 < 4
22 < 42
4 < 16
términos negativos: -1 > -4
(-1)2 < (-4)2
1 < 16
términos de distinto signo:
|
-2 < 1 (-2)2 > 12 4 > 1 |
-1 < 2 (-1)2 < 22 1 < 4 |
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Son de la forma a x + b < 0 ( ó ³0 ó >0 ó £0). Es decir, son las que tienen la incógnita con exponente 1.
Para resolverlas se despeja la x, respetando las normas de las operaciones con desigualdades.
Ejemplo: x + 2 < 3 – x
2x < 1
2x – 1 < 0
x < ½
Interpretación geométrica.
La solución de una inecuación de primer grado ax + b ³ 0 representa aquellos valores de x que hacen que la función y = ax + b quede por encima del eje x (o por encima y sobre el propio eje x, o por debajo del eje x, o por debajo y sobre el propio eje x).
Ejemplo: x + 2 < 3 – x
2x < 1
2x – 1 < 0
x < ½
y = 2x – 1
x=0 Þ y = -1 Þ (0, -1)
y=0 Þ x = 1/2 Þ ( 1/2, 0)
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
Presentan la forma ( ó ³0 ó <0 ó £0).
Para resolverlas se obtienen las raíces del trinomio de 2º grado ax2+bx+c = 0 , y se estudía que intervalo/s de los obtenidos cumplen la inecuación, teniendo en cuenta que los intervalos externos tienen el signo de a y el intervalo interno signo contrario al de a.
También se pueden resolver por factorización, obteniendo la solución de cada factor, calculando posteriormente la intersección de las soluciones.
Ejemplo: x2 – x – 6 £ 0
X2 – x – 6 = 0
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR.
Se descomponen en factores de primer o segundo grado.
Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas.
Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.
En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.
Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación.
INECUACIONES FRACCIONARIAS.
Se obtienen por separado los ceros del numerador y denominador.
Se representan en sendas rectas.
En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.
Se ve cuales de los intervalos formados son solución.
Los ceros del denominador nunca forman parte de la solución, al no estar definida la división entre cero.