TRIÁNGULOS EN EL PLANO Y EN LA ESFERA.

 

 

TEOREMA DE TALES.

 

               Los segmentos determinados por rectas paralelas sobre dos rectas concurrentes son proporcionales.

                                  

 

                Como consecuencia del teorema de Tales, toda paralela a un lado de un triángulo determina con los otros dos lados un nuevo triángulo semejante al primero:

        ABC ~ EDC     

 

                                                                                                                       

 Triángulos semejantes son los que tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales.

Dos tirángulos son semejantes si:   - tienen dos ángulos iguales.

                                                               - los tres lados proporcionales.

- dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual.

 

TEOREMA DE LA ALTURA.

 

Los triángulos PCA y PBA son semejantes, ya que:

 

-ambos tienen un ángulo recto      

 

-  C’ y C son complementarios de B, luego son iguales.

 

Por lo tanto:

 

          

 

 

 

 

 

Es decir: En un triángulo rectángulo la altura es media proporcional entre los segmentos que determina sobre la hipotenusa.           

TEOREMA DEL CATETO

 

Los triángulos PCA y ACB son semejantes ya que tienen los tres ángulos iguales:

-          un ángulo recto.

-          los ángulos B y N, ambos complementarios de C, son iguales.

 

Por lo tanto              de donde  

Por la misma razón, los triángulos PAB y ACB también son semejantes, ya que:

 

-          tienen un ángulo recto.

-          Los ángulos C y M , ambos complementarios de B, son iguales, cumpliéndose:

 

                    

 

Es decir: En un triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ésta.

 

TEOREMA DE PITÁGORAS.

A partir del teorema del cateto:                 

 

Sumando: b² + c² = a · n + a · m = a (n+m) = a²             Es decir:     a² =  b² + c²

 

                En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

                  

GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS.

 

                Todo los visto hasta ahora iba referido a triángulos rectángulos. La presente generalización es para todo triángulo, quedando reducida al teorema de Pitágoras en el caso de triángulos rectángulos.

 

                Consideraremos dos casos:

 

a/ Cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo:

 

 

Es decir, en cualquier triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

 

b/ Cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso:

 

 

 

 

Es decir, en cualquier triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

 

ALTURAS DE UN TRIÁNGULO CONOCIDOS LOS TRES LADOS.

 

                La altura sobre el lado c es:

En donde p es el semiperímetro: 

 

Similarmente para las alturas sobre los otros lados.

 

ÁREA DE UN TRIÁNGULO CONOCIDOS LOS TRES LADOS. (FORMULA DE HERÓN)

 

   en donde p es el semiperímetro.