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Tª ANALITICA DEL CALOR Y CONSECUENCIAS:
En
esta Tª, lo que Fourier propuso fue que la distribución inicial del calor en
un objeto o un lugar podía ser descrita por una función matemática
consistente en la suma de ondas sinusoidales y cosenoidales. Por ejemplo; en vez
de describir la naturaleza exacta de la función F(d),
que es la distribución del calor en función de la distancia. Fourier dijo que
esta F(d) podía también ser expresada
simplemente como:
siendo los coeficientes a,
b y c determinados
por un procedimiento especial conocido como Transformada de Fourier.
El
uso de las series trigonométricas para describir funciones en general es el
corazón del planteamiento de Fourier.
Un
ejemplo típico es la generación de una onda cuadrada (“square wave”)
mediante la suma de varias ondas sinusoidales. Para obtener esta onda cuadrada
se van a sumar dos ondas sinusoidales de frecuencias 1 y 3 Hz respectivamente.
La
gráfica muestra que la suma de dos ondas sinusoidales da una aproximación
reconocible de una onda cuadrada, aunque la suma no suba y baje tan rápidamente
como la onda cuadrada real.
La
única manera de hacer que la suma de las ondas sinusoidales suba y baje más rápidamente
es añadir más ondas sinusoidales a las otras dos con frecuencias más altas.
La
siguiente gráfica describe una función que viene dada por la ecuación:
Conforme
se van aumentando el número de ondas y sus frecuencias (7, 9, 11, 13 ....) la
gráfica se va pareciendo más a la gráfica de una onda cuadrada.
Otro
ejemplo de la Transformada de Fourier se va a realizar con la Función Gaussiana:
Fig
3 o gaussian.xcl
La
aproximación, como en el ejemplo anterior, no es perfecta pero se distingue el
máximo de la Gaussiana.
Sumando
senos y cosenos se puede conseguir cualquier función. El problema radica en
saber como y que senos y cosenos añadir para poder obtener la función
particular que se busca. Esto es lo que se consigue con la Transformada de
Fourier.
CONSECUENCIAS:
El
ejemplo propuesto anteriormente con la función Gaussiana pone de manifiesto una paradoja. La función Gaussiana es:
donde
s
es la anchura de la Gaussiana y el coeficiente que multiplica s
es el número de columnas. (2 en este caso) que ocupa el “máximo” de
la curva.
Pero
en la gráfica anterior se ha visto una buena aproximación a una Gaussiana, la
cual venía dada por la ecuación.
Esta
última ecuación que se acaba de escribir es una descripción alternativa de
una función Gaussiana, aunque aparentemente no tiene similitud con una función
Gaussiana real. Por lo tanto, se tienen dos expresiones que significan lo mismo.
La
siguiente gráfica muestra los coeficientes utilizados para la aproximación
(1):
Fig
4
Ahora
habría que preguntarse cual es la mejor forma y si una Gaussiana es la suma de
unos cosenos o es algo fortuito que la suma de unos cosenos haya generado una
Gaussiana.
Las
2 ideas son correctas, es como el problema de la luz y su Naturaleza dual, ondas
o corpúsculos. En unos casos es mejor considerarla como una onda y en otros
casos lo mejor es considerarla como un flujo de partículas, depende de que sea
lo más conveniente para resolver el problema.
Considerando
el caso de la onda cuadrada de nuevo, se la podría considerar como una señal
que varia instantáneamente entre dos intensidades en un intervalo de tiempo o
como la suma de ondas sinusoidales cuyas frecuencias varían infinitamente.
Se
podría decir que ambas consideraciones son buenas, pero esa respuesta no es muy
convincente.
Realmente,
en el caso de la onda cuadrada si se considera esta como un cambio regular de
amplitudes entre dos niveles, se está considerando que la función se ha
representado en función del tiempo, pero si se la considera como la suma de
ondas sinusoidales entonces se estará considerando que la función se ha
representado en función de las frecuencias.
La
Transformada de Fourier es simplemente una técnica matemática que conecta
estas dos formas de pensar.
Viendo
la función Gaussiana de nuevo se puede notar por su Transformada de Fourier que
la contribución de altas frecuencias se reduce sucesivamente. Una Gaussiana está
compuesta principalmente por bajas frecuencias. La causa de que un filtro de
bajas frecuencias mejore la razón señal-ruido de los picos del espectro se
debe a que dicho filtro bloquea las altas frecuencias mientras pasan las bajas
frecuencias. Como las Gaussianas son información dada por ondas de baja
frecuencia (casi) no están afectadas por el filtro, mientras que todas aquellas
frecuencias que se sabe que no pertenecen a la Gaussiana son reducidas. Esto no
es exactamente lo que hace un filtro, pero es una idea bastante aproximada.