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Base
matemática de Transformación de Fourier:
Cuando
en un libro de Matemáticas se ve escrito ex, en realidad se está especificando la siguiente
serie infinita:
y
una definición similar para senos y cosenos:
Esto
son las ecuaciones que utilizan las calculadoras y los ordenadores para calcular
las funciones ex, sen
(x) y cos (x).
Hay que tener en cuenta que la exactitud del cálculo viene dada completamente
por la cantidad de términos que se utilicen en el cálculo.
Si
simplemente se suman sen (x)
y cos (x) se obtiene:
(1)
lo
cual está muy próximo a la definición de ex dada anteriormente. Aunque puede parecer raro en
un 1er momento, se va ha considerar que ocurre cuando se
multiplica x por el número imaginario i. la ecuación anterior pasaría
a ser
(2)
si
se tiene en cuenta que i.i. = - 1,
entonces
Hay
que fijarse en que todos los términos asociados con el seno continúan llevando
i a causa del exponente impar,
mientras que todos términos del coseno han perdido sus “i”
por sus exponentes pares. El proceso ha generado que todos los términos pasen a
ser positivos. Ahora la ecuación (2) es distinta a la (1) y se tienen que
designar de otra forma, actualmente se conoce como Identidad de Euler, y viene dada por
El
término del coseno no necesita i
porque desaparecería con el exponente par. El término del seno puede llevar la
i como un factor fuera del
termino porque multiplica todos los términos de la serie. El resultado es que
la i sirve para mantener separados
los senos y los cosenos.
Actualmente
la Transformada de Fourier viene definida en los libros por
lo
cual es equivalente a:
(3)
La mejor forma de interpretar la ecuación (3) es dividir la Transformada de Fourier en 2 partes. En la primera, los cosenos están multiplicados por la función, como se dijo anteriormente, y muchas veces esta parte se denomina parte real o par de la transformada. La otra parte viene dada por los senos y se denomina parte imaginaria o impar.
Puede parecer desconcertante el tener dos tipos de datos de salida cuando solo se introduce un solo tipo, pero eso es algo de las Transformadas de Fourier que se tiene que aceptar.
La
inversa de la Transformada de Fourier es:
o
La
definición de la inversa proporciona un camino para regenerar la función
inicial; así es como la
inversa de la Transformada de Fourier regenera la función
original. Hay que fijarse en que el signo negativo del
exponente afecta solo a
la parte sinusoidal o impar de la función.
Como se discutió anteriormente, la fase describe la cantidad de senos y
cosenos que dan la frecuencia.
Numéricamente la razón de la frecuencia dada
por senos y cosenos se expresa como
donde
F (s) es
el ángulo de fase de una función de onda.
S(s) es el seno transformado de los datos
originales.
C(s) es el coseno transformado de los datos originales.