Hay
muchas formas de combinar la parte real y la parte imaginaría de una
Transformada, y el procedimiento más utilizado es el conocido como Corrección de Fase.
Fase,
en su definición más simple, es la suma de una cantidad relativa de senos y
cosenos de distintas frecuencias que vienen expresadas en radianes.
Para
explicar este concepto se va a utilizar un coseno de frecuencia 3 Hz. Sobre este
coseno se ha hecho la Transformada de Fourier y se ha hecho la gráfica de la
parte real (coseno) y la parte imaginaria (seno), pero en este caso la parte
imaginaria es 0.
El
coseno de 3 Hz se mueve, a lo largo de eje x,
2p /12. Ahora sus valores ya no son los que tenía
hasta ahora por haberse movido, sin embargo, ninguno de los signos ni de los
cosenos obtenidos en la Transformada ha variado y por eso el coseno movido está
fuera de fase respecto al seno y coseno de la Transformada. A continuación se
hace la Transformada del coseno desplazado, cuyos nuevos coeficientes se
observan en la gráfica
Hay
que fijarse en que ahora la gráfica tiene componentes sinusoidales y
cosenoidales. Si se cambia el valor del ángulo de fase [pn
/10
] disminuyendo el denominador, se verá que los valores relativos de los senos y
los cosenos también cambian.
El
cambio de fase real de la Transformada real e imaginaria puede obtenerse
mediante la arcotangente del cociente resultante de dividir el término de los
senos por el de los cosenos. Esto se conoce como espectro de fase.
El
espectro de fase se utiliza para combinar la parte real (coseno) e imaginaria
(seno) de la Transformada para producir el espectro. El ángulo de fase
calculado por la arcotangente es utilizado para corregir las dos partes de la
Transformada como sigue:
donde
T(s) es el espectro real
C(s) es la parte real de la
Transformada y
S(s) es la parte imaginaria
de la Transformada.
es el ángulo de fase (F
)
La
Fase tiene su origen en la suposición de que la Transformada se
“transforma” así misma. La Trasformada de Fourier supone que la gráfica de
la onda comienza exactamente en el máximo de los cosenos y en el cero de los
senos. Si la gráfica comienza en otro punto, incluso la señal de un coseno
puro podría dar como resultado de la “transformación” de la Transformada
otro coseno y otro seno. La cantidad de componentes reales e imaginarios que
tiene la Transformada indica como de lejos se encuentra el comienzo de la gráfica
del máximo de los cosenos. En el ejemplo de la Gaussiana, el pico estaba donde
todos los cosenos utilizados para la aproximación tenían su máximo. Cualquier
movimiento de la gráfica de la Transformada mueve el máximo del punto donde
los cosenos tienen sus máximos.
Hay
que observar que un cambio en las altas frecuencias de la Gaussiana afecta a
esta mucho más que un cambio en las bajas frecuencias. Los valores obtenidos
para las frecuencias más altas fluctúan más o menos bruscamente debido a que
los valores en su mayor parte son de ruido, es decir, los senos y los cosenos de
las frecuencias más altas no son significativos. Por lo tanto, solo la fase
calculada para los primeros cuatro términos de la Transformada es
significativa.
Una
complicación final viene dada por el hecho de que en la práctica las fases que
se acaban de calcular no están referidas al pico de la Gaussiana, sino que están
referidos al primer conjunto de valores de los cosenos.
A
pesar de todo lo hecho hasta aquí, todavía no se han obtenido los coeficientes
reales. Este proceso de multiplicación y suma para la obtención de los
coeficientes viene ilustrado en la siguiente gráfica, en la que se muestra el
producto de una Gaussiana por un coseno de frecuencia 3 Hz. Si la Gaussiana
(pintada con trazo grueso) es simplemente multiplicada punto a punto por el
coseno (pintada en línea discontinua) el resultado será la zona sombreada de
la gráfica. Cuando la Gaussiana es positiva y el coseno es negativo la función
resultante de la multiplicación será negativa, y solo si las dos son positivas
o negativas la resultante será positiva. (Estos dos tipos de resultados vienen
señalados en la gráfica por dos zonas sombreadas con grises diferentes). Esta
es una definición gráfica de ortogonalidad.
