MATEMÁTICAS:

El análisis matemático surge, como rama diferenciada de la matemática, por el desarrollo de los problemas y métodos del cálculo infinitesimal. La matemática elaborada hasta el s. XVI se limitaba a una parte de la aritmética, el álgebra y la geometría, habiéndose resuelto de forma aislada y no sistemática algunos problemas que implican cuestiones de cálculo infinitesimal. En el s. XVII el cálculo diferencial y el cálculo integral consiguen importantísimos resultados, que se continúan en el s. XVIII con el estudio de determinadas ecuaciones diferenciales y con el cálculo de variaciones. En el s. XIX no sólo se sigue ampliando el campo de resultados del cálculo infinitesimal, sino que se procede a un reexamen crítico de las nociones básicas; los conceptos de límite, continuidad y convergencia se definen, por fin, correctamente. Es a partir de esta época cuando aparece explícitamente la terminología del análisis matemático, como prolongación natural del antiguo cálculo infinitesimal. El s. XX, especialmente a partir de los años 30, se caracteriza por el replanteo de todas las cuestiones de análisis a partir de los métodos del análisis funcional.

Cálculo infinitesimal:

 El cálculo infinitesimal fue llamado el “cálculo por excelencia” (su denominación actual en lengua inglesa continúa siendo calculus). Este instrumento de análisis se forjó en menos de un siglo; mientras que en 1600 era totalmente inexistente, en 1700 se tratan, ya con una notación muy parecida a la que se emplea actualmente, los problemas más variados del cálculo diferencial e integral y del cálculo de variaciones.

Precedentes:

 Los precedentes del cálculo infinitesimal se encuentran en Eudoxo y Arquímedes. Eudoxo, con el método llamado de exhaustación, había conseguido dar una demostración rigurosa de las fórmulas del volumen de la pirámide y del cono. Arquímedes, haciendo más operativo el método anterior, resuelve el problema de calcular el área de un segmento de parábola, el centro de gravedad de un triángulo y el área de la espiral que lleva su nombre.

Otro precedente, ya mucho más reciente, de los métodos característicos del cálculo infinitesimal es el procedimiento introducido por Fermat para determinar la tangente de una curva en un punto. El método general propuesto por Fermat, anticipando las posteriores técnicas de derivación, consiste en hallar la ecuación de la recta secante que pasa por dos puntos cualesquiera de una curva y después “hacer tender” uno de ellos hacia la posición de otro, que se mantiene fijo. Algunos comentaristas consideran este desarrollo de Fermat como el que inaugura el cálculo infinitesimal.

Cálculo diferencial e integral:

El impulso decisivo para el nacimiento del cálculo infinitesimal lo proporcionan los problemas de cinemática (cálculo del espacio recorrido, la velocidad y la aceleración), que promueven la aparición del cálculo diferencial; por otra parte, el cálculo de áreas, volúmenes y centros de gravedad da lugar a la creación del cálculo integral. Un punto esencial en el progreso de estos cálculos, causa de su fusión para constituir el cálculo infinitesimal, es el descubrimiento de la reciprocidad existente entre los mismos, Barrow, maestro de Newton, había ya descubierto que la operación inversa a la derivación es la integración (indefinida), y recíprocamente (regla de Barrow). Newton publica su primer Calculus en 1655-66 y sus Philosophiae Naturalis Principia Mathematica  en 1687: su terminología esta basada en el concepto de fluxión, que denota por , y que en terminología actual corresponde al concepto de derivada de una función x=x(t) de un cierto parámetro t. Introduce también la fluxión de la fluxión, que corresponde a la derivada segunda. Pero es principalmente Leibniz quien destaca el concepto de diferencial, empleando la anotación x+dx, actualmente utilizada en los libros de matemática aplicada. Con esta notación le es fácil obtener la fórmula de la diferencial de un producto x·y: a partir del desarrollo de (y + dx) (y + dy) establece la expresión d(x ∙ y) = ydx, despreciando el termino dx dy. Leibniz se preocupó especialmente de obtener una notación adecuada al cálculo; el actual signo integral, ∫ , fue introducido por el como deformación de la S, inicial de suma. Entre Newton y Leibniz se estableció una dura polémica, por considerar aquél que éste copiaba sus resultados. La crítica moderna se inclina a creer que no existió tal copia, sino que ambos inventaron, independientemente y con notaciones distintas, el cálculo infinitesimal, que de esta manera, antes del 1700, aparece ya construido con notaciones parecidas a las actuales.

    Ecuaciones diferenciales:

 Resultado natural del cálculo diferencial es la aparición de las ecuaciones diferenciales como problema inverso al del trazado de tangentes a una curva: mientras que, dada una curva, la determinación de la tangente en uno de sus puntos es un problema que se resuelve por derivación, el problema recíproco de hallar una función conociendo la pendiente que presenta la tangente  en cada uno de sus  puntos exige la resolución de una ecuación diferencial. Este problema equivale, en cinemática, al de hallar la ecuación del movimiento de un cuerpo, conociendo su velocidad en cada instante. El primer problema de este tipo fue resuelto por Galileo en 1604, al establecer, aunque con un razonamiento completamente inaceptable, que, en un movimiento rectilíneo en el la velocidad sea proporcional al camino recorrido, la ley del movimiento debe ser  x = kt². Puede decirse que la primera resolución de una ecuación diferencial la llevó a cabo Leibniz en 1690; a partir de ese momento, esta teoría progresa rápidamente, merced a los resultados de los hermanos Bernoulli, el marqués de L’Hopital, Ricatti, Claireaut, etc.

Rigorización del cálculo infinitesimal:

 El desarrollo del cálculo infinitesimal durante el s. XVIII se caracteriza por su relación inmediata con los problemas de matemática aplicada: se continúa el estudio, iniciado en el s. XVII, de la geometría diferencial de las curvas planas, de las series de potencias y del cálculo de variaciones, a los que se añade ahora el estudio de la geometría diferencial de curvas alabeadas, de las ecuaciones en derivadas parciales, de las series trigonométricas, etc. Pero en todo este período no hay prácticamente trabajos relativos a los fundamentos de cálculo infinitesimal, el rigor matemático es sustituido por la intuición, y el cálculo, expresado en el antiguo lenguaje de indivisibles, fluxiones, infinitamente pequeños, etc., está cargado de connotaciones metafísicas y aparece cada vez menos riguroso. Excepcionalmente, d’Alambert había definido con gran precisión y claridad los conceptos de límite y derivada, afirmando que eran básicos en cálculo y que solamente ellos permitían prescindir de toda metafísica. Sin embargo, estos trabajos no fueron tenidos en cuenta por los restantes matemáticos de su época, que, ocupados en cuestiones de física y astronomía, proponían y resolvían los que, de hecho, eran importantes problemas de cálculo infinitesimal.

La situación cambia radicalmente en el s. XIX: algunas paradojas consecuencia del manejo incorrecto e intuitivo de la teoría obligaron a una revisión crítica de los conceptos. Por fin se define, ya de una vez para siempre, el concepto de límite y, a partir de el, los de continuidad, derivada, integral, convergencia, etc. Los problemas de existencia de límites, quedan perfectamente delimitados a partir de las definiciones (o construcciones) de los números reales. Todas esas definiciones y conceptos, expuestos por Cauchy en sus obras, han constituido la base de todo el análisis posterior; se explican aún en todos los libros elementales de cálculo y sólo han sido superados por los actuales desarrollos de la topología.

  Números reales:

 Un punto fundamental en que se basa la rigorización moderna del cálculo infinitesimal es la construcción del cuerpo de los números reales a partir del de los racionales. Dedekind construyó el conjunto de los reales por el método de cortaduras, que utiliza fundamentalmente la relación de orden existente entre los números y que es generalizable a conjuntos ordenados cualesquiera. Cantor emplea el método de pares de sucesiones monótonas contiguas, que puede ser expresado en lenguaje geométrico por medio de encajes o segmentos cerrados. Cauchy introduce el número real por medio de las sucesiones que han sido llamadas sucesiones de Cauchy, método que se ha generalizado en la topología moderna para completar espacios uniformes. Construido explícitamente el cuerpo de los números reales, se obtuvieron inmediatamente dos resultados importantes que permiten fundamentar fácilmente muchas cuestiones de cálculo infinitesimal: a) Una condición necesaria y suficiente para que una sucesión de números reales tenga límite es que sea una sucesión de Cauchy (el conjunto de números reales es un espacio completo). b)Todo conjunto acotado superiormente tiene extremo superior; si está acotado inferiormente, posee un extremo inferior.

Con el tratamiento decimal (o m-esimal) de los números reales, justificado por las construcciones anteriores, se consiguió gran flexibilidad en el cálculo numérico y algebraico y pudo resolverse satisfactoriamente la relación entre el cálculo exacto y el aproximado. La teoría del número real hizo posible la aritmetización de importantes problemas matemáticos que habían sido tratados por los griegos en forma geométrica.

  Teoría de funciones reales:

 La teoría de funciones, iniciada a raíz de algunos trabajos de geometría y mecánica, estuvo inicialmente más ligada a intuiciones que a definiciones lógicas. Antes del s. XIX no se contaba con una definición de continuidad y se aceptaba a priori (por intuición geométrica y mecánica) que toda función continua era derivable en todos sus puntos (toda curva continua tenía tangente en cada punto). Dentro de esta línea de pensamiento, Descartes, p. ej., pretendía que las matemáticas se ocuparan sólo en las funciones que -expresada su idea en lenguaje actual- tuvieran derivada racional, funciones que el llamaba algebraicas, aplicando a las restantes el calificativo peyorativo de mecánicas. Esta distinción quedó olvidada cuando, al ser introducidos los conceptos de pendiente, curvatura, etc., se estableció que las curvas mecánicas presentaban las mismas propiedades locales que las algebraicas.  

La superación del nivel meramente intuitivo sólo se consiguió en el s. XIX, al definirse explícitamente los conceptos de continuidad y derivabilidad, a partir de la definición de límite y de la utilización de los números reales; entonces, se demostró rigurosamente el teorema de Bolzano y se estableció la existencia de un máximo y un mínimo para toda función continua en un intervalo cerrado, así como la continuidad de las funciones derivables. El abandono de los criterios intuitivos se produjo definitivamente cuando Derichlet dio ejemplo de una función sin ningún punto de continuidad y al descubrirse una función continua en un intervalo que no es derivable en ningún punto.

  Funciones de variable compleja, funciones analíticas:

 Durante los s. XVII y XVIII se había estudiado en desarrollo de funciones en serie de Taylor, pero sin que existiera una real preocupación por los conceptos de convergencia. Cauchy estudia las condiciones de convergencia de una serie de potencias y obtiene el concepto de radio de convergencia: la originalidad de sus estudios es plantearse el problema con variables complejas. Para las funciones complejas de variable compleja introduce el concepto de integral a lo largo de un camino o de un circuito y obtiene el teorema fundamental de los residuos. Con estos resultados se funda la teoría de las funciones de variable compleja y, especialmente, la de las funciones analíticas, que se ha convertido, desde los estudios de Cauchy, en un instrumento fundamentalmente del análisis matemático, no solo porque establece condiciones precisas para la validez del desarrollo en serie de potencias de una función, sino sobre todo, por englobar un campo de funciones muy regulares y suficientemente amplio para ser tratado en forma general. En el campo de las funciones analíticas pueden tratarse problemas que, con las funciones tradicionales –potencias, fracciones, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas- no tenían solución.

  Rigorización de la teoría de ecuaciones diferenciales:

 Mientras en los s. XVII  y XVIII progresan enormemente los métodos de resolución de ecuaciones diferenciales y se funda el cálculo de variaciones  (que se resuelve a través de ecuaciones diferenciales), no existe, en cambio, ningún adelanto sustancial en el conocimiento teórico de dichas ecuaciones. Cauchy, por vez primera, presenta un teorema de existencia y unicidad de las soluciones de una ecuación diferencial; impone a la ecuación diferencial condiciones de analiticidad –condiciones que, posteriormente, se han cambiado por otras menos restrictivas, más generales-, desarrolla en serie las funciones analíticas y demuestra así la existencia y la unidad. Con ello se abre una nueva etapa. En la misma línea aparecen los teoremas de Liouville (1836) en las ecuaciones del tipo llamado de Sturm-Liouville, que dependen de un parámetro y en las que se presentan soluciones que cumplen ciertas propiedades solamente para un conjunto de valores del parámetro (espectro de la ecuación). Estos teoremas son fundamentales en la física actual: la mecánica cuántica postula precisamente que, en ciertos fenómenos, los únicos valores observables son los valores propios o valores del espectro de una ecuación diferencial del tipo Sturm-Liouville.

La evolución posterior de la teoría de ecuaciones diferenciales ha residido sobre todo en la algebrización de su tratamiento a través de la idea de operador. La genial introducción de Lie, a finales del s. XIX, de las propiedades de los grupos uniparamétricos, para estudiar las ecuaciones diferenciales, debe considerarse como una innovación importantísima, que ha conducido modernamente al estudio de los grupos de Lie.

Rigorización de la teoría de la integral:

 De los matemáticos modernos es Cauchy el primero que intenta la rigorización del concepto de integral definida. A partir de su definición de integral, Cauchy intentó demostrar que toda función continua en un intervalo cerrado es integrable; evidentemente, pretendió así superar la idea de integral como intuición geométrica del área y establecer sus propiedades por deducción lógica. Sin embargo, la demostración de Cauchy es falsa, por confundir la continuidad simple con la continuidad uniforme; sólo después de demostrarse que, en un intervalo cerrado, toda  función continua es uniformemente continua, puede aceptarse como válida dicha demostración. Definida la integral de una función real, Cauchy pasó a definir la integral de una función compleja de variable compleja a lo largo de una ecuación (y obtuvo el teorema de los residuos, ya mencionado). Un punto criticable del método de Cauchy es la arbitrariedad con que se divide el intervalo de integración en partes, para después elegir también arbitrariamente un punto en cada parte. Para eliminar esta arbitrariedad, Riemann definió la integral a través de las sumas superiores e inferiores, definición que resultó muy manejable, especialmente porque el criterio de integrabilidad según Riemann es de fácil aplicación; gracias a este criterio pudo darse una demostración correcta de la integrabilidad de toda función continua en un intervalo cerrado. Y se demostró algo más: que si la función admite en dicho intervalo un número finito de discontinuidades, sigue siendo integrable. Estos resultados pusieron de relieve un problema fundamental: ¿puede caracterizarse la integrabilidad de una función en un intervalo cerrado por el conjunto de puntos de discontinuidad que la función presenta de dicho intervalo?. La solución del problema la dio Lebesgue, al establecer que la condición necesaria y suficiente de integrabilidad era que el conjunto de discontinuidad fuese de medida nula. El valor de los trabajos de Lebesgue, además de la brillante resolución del problema propuesto, radica en que obligaron a estudiar los conceptos de conjunto de medida nula y, en general, de conjunto medible y  medida de  un conjunto medible; este estudio hizo posible una importante extensión del concepto de integral de Riemann para pasar a la integral de Lebesgue. Borel había estudiado la insuficiencia de la familia de segmentos  de un intervalo cerrado desde el punto de vista conjuntista: la unión de dos segmentos no es, en general, un segmento, y el complementario de un segmento tampoco es siempre otro segmento. Para resolver estas dificultades, Borel definió unas familias de conjuntos que son cerradas respecto de la unión e intersección numerable y del paso al complementario, familias que luego han recibido el nombre de álgebras o tribus.

La integral introducida por Lebesgue supone una notable ampliación del concepto de integral de Riemann: la idea central está en descomponer el intervalo de integración en conjuntos de Borel en lugar de segmentos y considerar su medida. La integrabilidad según Lebesgue comprende, como caso particular, la integrabilidad según Riemann; pero muchas funciones que no podían integrarse de acuerdo con los criterios de Riemann, son integrables según Lebesgue. Las ventajas de este último método no estriban sólo en que permite integrar mayor número de funciones; lo importante es que el conjunto de funciones integrables según Lebesgue presenta propiedades más interesantes (el conjunto de funciones medibles y acotadas es un conjunto de funciones integrables según Lebesgue). A partir de su introducción en 1907, la integral de Lebesgue pasó a ser la base de todos los desarrollos posteriores: particularmente interesante es la generalización de la integral de Lebesgue en el sentido de Stieltjes. Este autor, en 1894, definió la integral que lleva su nombre por métodos parecidos a los de Riemann; pero, en lugar de realizar la integración respecto a la longitud de los segmentos en que se divide el intervalo de integración, lo hizo respecto a una masa o medida M de dichos segmentos. En el caso particular de que M sea longitud, la integral de Stieltjes coincide con la integral de Riemann. Al combinar simultáneamente las ideas de Stieltjes (integral respecto a una medida) con los procedimientos de Lebesgue (medida de conjuntos de Borel en general) surge la integral de Stieltjes-Lebesgue.

  Integral y dualidad:

 En su forma actual la teoría de la integral está íntimamente relacionada con la teoría de la dualidad en los espacios vectoriales topológicos. Mientras la teoría de Stieltjes-Lebesgue permite calcular, a partir de una medida, la integral de una función (o de todas las funciones de un espacio de funciones integrables), la teoría moderna invierte el proceso: conocida la integral de una familia de funciones del espacio de funciones integrables, se trata de hallar la medida que definen estas integrales. Esta relación dual entre la integral y la medida se ha desarrollado a partir del teorema de Riesz.  

Análisis funcional:

 El objeto fundamental del análisis funcional consiste en plantear y resolver por métodos vectoriales los problemas del análisis infinitesimal. El carácter lineal de la derivada de una función permite considerarla como una transformación lineal que aplica el espacio vectorial de la funciones derivables en el de las funciones derivadas. A partir de este resultado es factible linealizar el tratamiento de las ecuaciones diferenciales y reducir los problemas de resolución de estas ecuaciones a problemas lineales. Otro aspecto característico del análisis funcional es la definición de una métrica en el espacio vectorial de las funciones continuas sobre un intervalo cerrado; dadas dos de tales funciones, f y g, la integral.

(donde a y b son los extremos del intervalo) define entre ellas un producto escalar. Dos funciones serán dos vectores ortogonales cuando su producto escalar sea nulo, es decir, cuando

y una función será normal si su módulo es la unidad:

            Una sucesión f_o(x), f₁(x), f₂(x), ..., f_n(x) de funciones se dice de funciones ortonormales si cada función es normal y dos funciones distintas son ortogonales; en particular, si f_n(x) es un polinomio de grado n, se obtiene una sucesión de polinomios ortonormales, sucesiones que resultan especialmente interesantes como base de un espacio funcional. Nótese que, al cambiar los límites de integración, la integral que define el producto escalar cambia; es decir, se obtienen tantos productos escalares distintos como intervalos de integración pueden tomarse y, para distintos productos escalares, resultan distintas sucesiones de polinomios ortonormales. Entre los polinomios clásicamente estudiados cabe mencionar los de Legendre, Laguerre, Hermite, etc.

Entre los problemas que aborda el análisis funcional ocupa un lugar preponderante el de la resolución de ecuaciones integrales, y particularmente, el estudio de la ecuación integral de Fredholm:

            Esta ecuación plantea el problema de hallar la función (o funciones) g(s), conocidas f(t) y K(s,t), esta última llamada núcleo de la ecuación integral. El tratamiento funcional de la ecuación consiste en considerar la expresión.

como un operador lineal que, aplicado a la función h(s),  la transforma en

            Basándose en esta propiedad, Hilbert demostró que la resolución de la ecuación de Fredholm –en el caso de que el núcleo sea simétrico en las dos variables- es equivalente a resolver un sistema de infinitas ecuaciones lineales con infinitas incógnitas. Este ejemplo es de suma importancia histórica, porque abrió a los métodos del análisis funcional grandes perspectivas de aplicación en la resolución de problemas de cálculo.

Hay que hacer notar que para el proceso de linealización ya mencionado no representara una simple metáfora, fue necesario precisar perfectamente la teoría, de los espacios funcionales y los operadores lineales. Así aparecieron los espacios de Hilbert, los de Banach y, actualmente, los espacios vectoriales topológicos, los operadores continuos, los operadores compactos, el espectro de un operador y todo el análisis espectral.

ANÁLISIS ARMÓNICO:

 Esta rama del análisis matemático se ocupa fundamentalmente de dos problemas:

1.    El desarrollo en serie de una función periódica (desarrollo en serie de Fourier).

2.    La transformación de una función en otra mediante una integral (transformación o integral de Fourier).

Desarrollo en serie de Fourier. Como resultado de sus trabajos, Fourier estableció que toda función periódica f(x), de período 2 , continua en todo el período, admite un desarrollo en serie de la forma:

                                    f(x) = a_o+a₁ cos x+b₁ sen x+ ... +a_n

                                             cos nx + b_n sen nx+ ...

en el que los coeficientes están dados por las expresiones:

            Este resultado supuso, en la época, un cambio total en la perspectiva con que se abordaba el estudio de las funciones continuas y en la intuición inmediata que se tenía del problema. En efecto, hasta entonces se clasificaban las funciones continuas en dos tipos: por una parte, aquellas que eran susceptibles de definirse mediante una ecuación o una fórmula matemática, y por otra parte, las obtenidas mediante un trazado empírico o arbitrario sobre el papel y que no obedecían a ninguna formulación. Ahora bien, cualquier función continua en un intervalo puede considerarse, por un adecuado cambio de variables, como definida en un intervalo de amplitud 2 p y luego ser prolongada a una función periódica,  de período 2 p definida para toda la recta real; de aquí que toda función continua es desarrollable en serie de Fourier y,  por tanto, puede expresarse por medio de una fórmula.

 Analizar armónicamente una función periódica es hallar los términos del desarrollo de Fourier que la componen. Los términos a₁ cos x y b₁ sen x constituyen los primeros armónicos de f(x); en general los términos a_n cos nx, b_n sen nx  son los armónicos n de f(x). Nótese que mientras los primeros armónicos presentan el mismo período T que  f(x) los términos a_n cos nx y b_n sen nx tienen el período T por tanto, corresponden a ondas cuya frecuencia es n veces superior a la de la función f(x). En términos de frecuencia, el resultado de Fourier indica que si la función f(x) es periódica puede considerarse engendrada por superposición (adición) de ondas de frecuencia cada vez mayor.

Estos resultados tuvieron aplicación inmediata a los fenómenos de acústica, caso en el cual el análisis de una función f(x) en serie de Fourier conducía a analizar los distintos armónicos que componían un sonido; de ahí el nombre de análisis armónico.

En la actualidad el análisis de Fourier se lleva a cabo mecánicamente por medio de los analizadores armónicos,  aparatos que resuelven el análisis armónico de una función, dado el gráfico de la misma; esencialmente consisten en un mecanismo de giro que produce las funciones sen nx y cos nx, las cuales son multiplicadas por f(x) para obtener éstos productos: sen nx·f(x) y cos nx·f(x), que se integran gráficamente.

El problema teórico que derivó de los trabajos de Fourier fue, por una parte, el de establecer, para una función periódica general, condiciones más débiles que la continuidad para asegurar su posibilidad de desarrollo en serie, y por otra parte, el de precisar la convergencia de dicha serie. El problema inverso del análisis armónico ha sido llamado síntesis armónica; estriba fundamentalmente en la determinación de las condiciones que deben cumplir las sucesiones de coeficientes del desarrollo para obtener una serie convergente, y en hallar el campo de convergencia de la misma función que representa ese desarrollo. Todas estas cuestiones han sido resueltas satisfactoriamente planteando estos problemas con las técnicas de los espacios de Hilbert.

Transformación de Fourier. La transformación de Fourier de una función f(x) es la función g(t), definida por la expresión

   
            Esta correspondencia entre funciones así definida es una transformación lineal.

   La aportación de Fourier estriba en modificar la transformación de Laplace.

introduciendo el término imaginario i. La transformación de Laplace es un operador que cambia la derivación por una multiplicación, la integración por un producto y el producto de convolución en un producto ordinario. Pero no es fácil encontrar condiciones necesarias y suficientes para la existencia de la transformada de Laplace, ya que la integral que la define puede ser divergente (nótese que para valores de t positivos, el crecimiento de e^tx es rápido). Fourier resuelve esta dificultad, conservando las propiedades fundamentales de la transformación de Laplace, al introducir la expresión e^itx; para cada valor de t y x, e^itx es un complejo de módulo 1. La transformación de Fourier está asegurada para todas las funciones f(x) simplemente integrables.

El tratamiento moderno de la transformación de Fourier tiene como punto de partida el papel desempeñado por las propiedades de grupo del conjunto de los números reales. La aplicación x→z=e^iαx (para un valor α fijo distinto de a) transforma el grupo aditivo de los números reales en el grupo multiplicativo de los complejos de módulo 1, y esta aplicación es un morfismo (de hecho es un elemento del grupo dual).

Estas observaciones han puesto e manifiesto que la transformación de Fourier se basa fundamentalmente en la dualidad de grupos; de aquí ha resultado una importante extensión de la teoría. Actualmente la transformación de Fourier es conocida no sólo para funciones de variable real, sino también en funciones definidas en grupos localmente compactos. Wiener ha obtenido una serie de teoremas para la transformación de Fourier definida en el toro.

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