Cuartiles, deciles y centiles

Un conjunto de puntajes o mediciones puede dividirse en un cierto número de partes iguales mediante la selección de valores que correspondan a una posición determinada en dicho conjunto. Por ejemplo, la mediana divide a un conjunto de valores dados en dos partes iguales, y su posición es, en consecuencia, a la mitad del mismo. De manera que 50% de los puntajes quedan a uno u otro lado valor estadístico.

En general, se llaman cuantiles (o "cuantilas") a estos valores con posición divisora determinada. Pueden considerarse los siguientes cuantiles, además de la mediana:

a) cuartil (o "cuartila")

b) decil (o "decila")

c) centil (o "centila")

que son respectivamente, los cuantiles que corresponden a la división en 4, 10, y 100 partes iguales del conjunto dado. A continuación se describen estos valores característicos.

Cuartiles. Son los puntos que dividen a una distribución de valores en cuatro porciones iguales o intervalos. Se representan por , , y se ilustran en el esquema siguiente:

Deciles. Son los cuantiles que dividen una distribución en 10 tantos o intervalos, por lo que se tienen 9 puntos de división, los deciles, que originan los 10 intervalos.

Los deciles, que se representan por pueden ser marcados en una gráfica como la siguiente:

Centiles o porcentiles. *Generalmente los puntajes no elaborados o burdos (los que se obtienen en forma directa al aplicar una prueba psicológica o, en general, cualquier medición), no indican nada en lo relativo al desempeño de las personas, y del lugar que ocupan con respecto al resultado de dicha prueba (o bien, de la medición de que se trate) con respecto al grupo al cual pertenecen. Por consiguiente, es necesario utilizar varios procedimientos estadísticos, los cuales serán útiles para describir el puntaje o calificación de un individuo particular en relación con otros valores.

Un procedimiento muy adecuado para la comprensión global de los datos obtenidos en un test psicológico o en una prueba de conocimientos, comprensión, etc., es determinar los denominados centiles. El centil de una distribución es el valor dado abajo del cual queda el porcentaje indicado de los valores del conjunto. Un centil indica, entonces, la posición de un puntaje en una distribución porcentual (o en términos de porcentajes). Por ejemplo, si un estudiante obtuvo una  calificación que fue más alta que el 70% de los puntajes en la distribución de estas calificaciones, pero no superior al 71%, el centil correspondiente será entonces el de número 70. En otras palabras a tal estudiante le corresponde el "70º (septuagésimo) centil".

Cuando se emplea el término centil, se refiera siempre a un punto en una distribución de puntajes o valores, por abajo del cual queda un porcentaje dado en los casos; así, el centil 45 de un conjunto total de 100 puntos, es un valor o punto por debajo del cual quedan 45 calificaciones. Un centil se representa por (o por si se utiliza el término porcentil).

Para encontrar cuartiles y porcentiles puede emplearse el mismo razonamiento que se usa para la mediana. El primer cuartil (notación:) es el número mayor que 25 por 100 de las puntuaciones (y menor que 75 por 100 ). El segundo cuartil, , es la media. El tercer cuartil, , es mayor que 75 por 100 de las puntuaciones. El porcentil 60 (notación   ) es mayor que 60 por de las puntuaciones (y menor que 40 por 100). Adviértase que

Los cuartiles y porcentiles se llaman también medidas de localización.

Si se ordenan por rango ocho resultados o números, será mayor que 2 y menor que 6; el primer cuartil estará a mitad de la distancia entre la segunda y la tercera puntuaciones. Si es entero, entonces está a mitad de la distancia entre esta puntuación y la inmediata superior. Si no es entero, se acostumbra redondearlo para encontrar . Por ejemplo: si n = 50, será el decimotercer número después de que se colocan en orden creciente, pues 50/4=12.5, que se redondea a 13. Doce números son menores y 37 son mayores. Sin embargo, si se imagina que el decimotercer número está por mitad en cada grupo, habrá 12.5 por debajo 37.5 por arriba de .

y se estiman de la misma manera: multiplíquese respectivamente. Si el resultado es entero, elíjase el número a mitad de la distancia entre esta cifra y la siguiente; de lo contrario, redondéese.

Ejemplo 1

Noventa cifras se disponen en orden creciente. Encontrar: (a), (b) (c) (d) .

(a) es la vigésima tercera cifra.

(b) es la cifra sexagésima octava.

(c) está a mitad de la distancia entre las cifras quincuagésima cuarta y quincuagésima quinta.

(d) es la decimoquinta cifra.

El rango porcentil de un conjunto de números es el porcentaje de números o puntuaciones que son menores. Si 75 es la puntuación 349 en una lista de 400 cifras dispuestas en orden creciente, habrá 348 cifras menores; por 100 son menores que 75; el rango porcentil de la puntuación de 75 es 87.

Ejemplo 2

Un estudiante de secundaria tiene calificación promedio de 92.5; ocupa el decimosexto lugar en un grupo de 300. ¿Cuál es el rango porcentil?

Tiene mejores calificaciones que 300 - 16 = 284 en todo el grupo. El rango porcentil es .

Tómese en cuenta la relación que existe entre los centiles, los deciles, los cuartiles, y la mediana; su relación se representa en forma sinóptica en la siguiente forma:

Cuartil 1: = = (porcentil 25 o  25º. centil).

Cuartil 2: = = = = Me (porcentil 50 o 50º, centil, decil 5, o mediana)

Cuartil 3: = = (porcentil 75 o 75º. centil).

La ojiva de Galton (el polígono de frecuencias relativas acumuladas) se puede utilizar, en un análisis exploratorio, para ubicar cualquier cuantil (cuartiles, deciles, centiles o la mediana) en una distribución dada.

Ejemplo: En el caso de la siguiente ojiva, encontrar:

(a) El centil del puntaje 49.5.

(b) El puntaje correspondiente a o .

(c) La mediana.

a) Se localiza la calificación en el eje horizontal x (puntajes), y luego se levanta una línea vertical desde dicho eje hasta encontrar la ojiva; a partir del punto de intersección se traza una línea horizontal hasta llegar al eje vertical (frecuencia relativa acumulada), donde se lee el centil (que es un valor porcentual) correspondiente al puntaje buscado. En este caso se tiene el centil 40, o sea,

b) En este caso se invierte el proceso anterior, o sea, el eje vertical se ubica el cuantil deseado (centil, decil o cuartil), en este ejemplo o ; se traza luego una horizontal hasta la ojiva, y a partir del punto determinado se lleva una vertical hasta el eje horizontal; se lee a continuación el puntaje o calificación correspondiente al cuantil anterior. En este caso (aproximadamente 60 puntos).

c) Se procede como en el inciso anterior, pero buscando en el eje vertical el valor 50% que, como se ha visto con anterioridad, corresponde al o o , que equivalen a la  mediana.

La mediana vale aproximadamente, utilizando este método, 57 puntos.

Medidas de posición